Pour inverser une fonction à l'aide de la méthode de Newton, vous devez trouver la racine de la différence entre la fonction et sa valeur cible. En d'autres termes, étant donné une fonction $f(x)$ et une valeur cible $y$, vous voulez trouver $x$ tel que $f(x) - y = 0$. Vous pouvez utiliser la méthode de Newton pour résoudre cette équation.

Voici une approche étape par étape pour mettre en œuvre la méthode de Newton pour l'inversion d'une fonction en Python :

  1. Définissez la fonction f(x) et sa dérivée f'(x) (le cas échéant).
  2. Définir la valeur cible y.
  3. Définir la valeur initiale x0 pour la racine.
  4. Appliquer les itérations de la méthode de Newton pour trouver la racine.

Voici un exemple d'inversion d'une fonction simple $f(x) = x^2$ avec une valeur cible $y = 4$ :

import numpy as np

def f(x):
    return x**2

def df(x):
    return 2*x

y = 4
x0 = 2.5
tol = 1e-6

for i in range(100):
    x1 = x0 - (f(x0) - y) / df(x0)
    if abs(x1 - x0) < tol:
        break
    x0 = x1

print('Inverted value:', x1)
print('Iterations:', i)

Dans cet exemple, on a  définit la fonction $f(x) = x^2$ et sa dérivée $f'(x) = 2x$. Puis fixé la valeur cible $y = 4$ et l'estimation initiale $x0 = 2.5$. La tolérance tol est fixée à $1e-6$ pour contrôler le critère de convergence. Nous itérons ensuite en utilisant la méthode de Newton jusqu'à convergence.

Cette procedure peu être appliqué a n'importe quel fonction dérivable. Et peu également être utile pour définir la fonction inversse $f^{-1}$.

Inversion de fonction :

Pour inverser une fonction, dison $f(x) = (2/3)(x + 1)^2 - sin(x) - 1$, vous pouvez utiliser la méthode de Newton décrite précédemment. Vous voulez trouver $x$ tel que $f(x) = y$, où $y$ est la valeur cible.

Définisson d'abord la fonction $f(x)$ et sa dérivée $f'(x)$ :

import numpy as np

def f(x):
    return (2/3)*(x + 1)**2 - np.sin(x) - 1

def df(x):
    return (4/3)*(x + 1) - np.cos(x)

On peu maintenant mettre en œuvre la méthode de Newton pour trouver la fonction inverse $f^-1(y)$ pour une valeur cible $y$ donnée.

def invert_function(y, x0, tol=1e-6, max_iter=1000):
    for i in range(max_iter):
        x1 = x0 - (f(x0) - y) / df(x0)
        if abs(x1 - x0) < tol:
            break
        x0 = x1
    return x1

Dans cette fonction, $y$ est la valeur cible, $x0$ est l'estimation initiale, $tol$ est la tolérance de convergence et $max_iter$ est le nombre maximum d'itérations. On peu maintenant utiliser la fonction invert_function pour trouver l'inverse de $f(x)$ pour une valeur cible donnée $y$. Par exemple, trouvons $f^-1(2)$ :

y = 2
x0 = 1.0
inverted_value = invert_function(y, x0)
print("Inverted value:", inverted_value)

Trouver la fonction analytique inverse de $f(x) = (2/3)(x + 1)^2 - sin(x) - 1$ n'est pas simple, car il n'existe pas de formule générale pour inverser de telles fonctions complexes. En fait, dans la plupart des cas, il n'est pas possible de trouver une formule explicite pour la fonction inverse. Cependant, vous pouvez toujours utiliser des méthodes numériques telles que la méthode de Newton pour obtenir une approximation de la fonction inverse pour des valeurs cibles spécifiques, comme le montre les exemples précédent. Gardez à l'esprit que cette approche ne fournit pas de formule explicite pour la fonction inverse, mais plutôt une approximation numérique pour des valeurs d'entrée particulières.

Aller plus loin :