### Introduction

La géométrie en infographie 3D est le fondement de toute représentation visuelle dans les environnements virtuels. Cette leçon couvre les concepts essentiels, des éléments de base aux techniques avancées.

### Éléments de base

#### Position

Une position, ou point, est l'élément le plus fondamental en géométrie 3D. Elle est représentée par trois coordonnées (x, y, z) dans l'espace euclidien :

$$ P = (x, y, z) $$

Ces coordonnées définissent un emplacement unique dans l'espace tridimensionnel.

#### Edge (Arête)

Une edge est un segment de ligne reliant deux positions. Elle est définie par ses deux extrémités :

$$ E = (P_1, P_2) $$

où $P_1$ et $P_2$ sont des positions.

#### Face

Une face est une surface plane délimitée par des edges. La face triangulaire est la plus couramment utilisée en infographie 3D, définie par trois positions :

$$ F = (P_1, P_2, P_3) $$

Les faces plus complexes, comme les quadrilatères, peuvent être décomposées en triangles pour simplifier les calculs.

### Normales

Une normale est un vecteur perpendiculaire à une surface. Pour une face triangulaire, la normale peut être calculée par le produit vectoriel de deux de ses edges :

$$ \vec{N} = (P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1) $$

Les normales sont cruciales pour :
- Le calcul de l'éclairage
- La détermination de l'orientation des faces
- La détection de collisions

### Convexité

Un objet est convexe si, pour toute paire de points à l'intérieur de l'objet, le segment de ligne les reliant est entièrement contenu dans l'objet. Cette propriété est importante pour :
- L'optimisation des calculs de collision
- La simplification des algorithmes de rendu

Un polyèdre convexe satisfait la formule d'Euler :

$$ V - E + F = 2 $$

où V est le nombre de sommets, E le nombre d'edges, et F le nombre de faces.

### Techniques avancées : Simplification de maillage

La simplification de maillage vise à réduire la complexité d'un modèle 3D tout en préservant sa forme générale. Voici quelques métriques utilisées :

1. **Erreur quadratique** : Mesure la déviation des sommets par rapport aux plans des faces originales.

2. **Préservation du volume** : Évalue la variation de volume avant et après simplification.

3. **Préservation des caractéristiques** : Maintient les arêtes vives et les détails importants.

4. **Erreur de texture** : Minimise la distorsion des coordonnées de texture.

Une technique courante est la contraction d'edges, où une edge est remplacée par un seul sommet. L'algorithme de simplification de Garland et Heckbert utilise l'erreur quadratique pour choisir les edges à contracter :

$$ \Delta(v) = v^T Q v $$

où $Q$ est une matrice 4x4 représentant l'erreur quadratique cumulée, et $v$ est le vecteur de position homogène du nouveau sommet.

### Conclusion

La maîtrise de ces notions de géométrie est essentielle pour créer des environnements 3D efficaces et réalistes. De la simple représentation des positions aux techniques avancées de simplification de maillage, ces concepts forment la base de nombreuses applications en infographie, animation et réalité virtuelle.

Citations:
[1] https://ppl-ai-file-upload.s3.amazonaws.com/web/direct-files/11692391/21eb2d52-af04-4da2-af37-904bdde98814/paste.txt